OPERACIONES CON MATRICES

Para estudiar las operaciones entre matrices es necesario primero conocer tipos de Matrices ejemplo

TIPOS DE MATRICES

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila pero varias columnas.

[1  2  1]

Matriz columna 

La matriz columna tiene una sola columna pero varias filas.

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j

Matriz nula 

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. 

Matriz diagonal 


En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz escalar 

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular 

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular 

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz simétrica 

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.

Matriz antisimétrica o

hemisimétrica 

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.

Matriz ortogonal 

Una matriz es ortogonal si verifica que: A•At = I.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A (y notamos A^T) a la matriz que se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por las columnas de A. Es decir, 

Ejemplo:

Si,

entonces:

Propiedades:

1.    (A^T)^T = A

2.    (A + B)^T = A^T + B^T

3.    (α •A)^T = α• A^T

4.    (A • B)^T = B^T • A^T

Suma y renta de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Sea A =

y B =

 La suma A + B

Es igual  a 

Del mismo modo la resta se hace componente a componente A - B

es igual a 

Propiedades de la suma de matrices

De la dimensión 

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

asociativa 

A + (B + C) = (A + B) + C

elemento neutro 

A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

elemento opuesto 

A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

conmutativa 

A + B = B + A

PRODUCTO DE MATRICES

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. M(m*n) * M(n*p) = M(n*n); Y ademas m*p nos dirá el tamaño de la matriz resultante. El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. Ejemplo: A•B =

 Es igual a

[C (3*3)]; matriz resultante de 3*3

propiedades del producto de matrices 

asociativa 


A • (B • C) = (A • B) • C

elemento neutro 

A • I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. Anticonmutativa A • B ≠ B • A


distributiva del producto respecto de la suma 

A · (B + C) = A · B + A · C

Matriz inversa

A · A-1 = A-1 · A = I

propiedades 

(A · B) ^ (-1) = B ^ (-1) · A ^ (-1)

[A^ (-1) ] ^ (-1) = A

(K · A) ^ (-1) = k ^ (-1) · A ^ (-1)

(A ^ t) ^ (-1) = [ A ^ (-1) ] ^ t


cálculo de la inversa por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1. F2 - F1

F3 + F2

F2 - F3

F1 + F2

(-1) F2

La matriz inversa es: F1

Puedes consultar este otro método para calcular la matriz inversa.

A • (B + C) = A • B + A • C