Para estudiar las operaciones entre matrices es necesario
primero conocer tipos de Matrices ejemplo
TIPOS DE MATRICES
Matriz
fila
Una
matriz fila está constituida por una sola fila pero varias columnas.
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Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna pero varias filas.
Matriz
rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas,
siendo su dimensión mxn.
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal
secundaria la forman los elementos con i+j
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por
debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por
encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y
por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos
de la diagonal principal son iguales.
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los
elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.
Matriz antisimétrica o
hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada
que verifica: A = -At.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que: A•At = I.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz
traspuesta de A (y notamos AT) a la matriz que se obtiene
intercambiando ordenadamente las filas por las columnas de A. Es decir,
Ejemplo:
Si,
Propiedades:
1. (AT)T =
A
2. (A + B)T =
AT + BT
3. (α •A)T =
α• AT
4. (A • B)T =
BT • AT
Suma y renta de matrices
Dadas dos matrices de la misma
dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es
decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las
dos matrices que ocupan la misma posición.
Sea A =
y B =
La suma A + B
Es igual a
Del
mismo modo la resta se hace componente a componente A - B
es igual a
Propiedades de la suma de matrices
De la dimensión
La
suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
asociativa
A
+ (B + C) = (A + B) + C
elemento neutro
A
+ 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
elemento opuesto
A
+ (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están
cambiados de signo.
conmutativa
A
+ B = B + A
PRODUCTO DE MATRICES
Dos matrices A y B se dicen
multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de
B. M(m*n) * M(n*p) = M(n*n); Y ademas m*p nos dirá el tamaño de
la matriz resultante. El elemento cij de la matriz producto se obtiene
multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la
columna j de la matriz B y sumándolos. Ejemplo: A•B =
[C (3*3)];
matriz resultante de 3*3
propiedades del producto de matrices
asociativa
A
• (B • C) = (A • B) • C
elemento neutro
A
• I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
Anticonmutativa A • B ≠ B • A
distributiva del producto respecto de la suma
A
· (B + C) = A · B + A · C
Matriz inversa
A · A-1 = A-1 · A = I
propiedades
(A
· B) ^ (-1) = B ^ (-1) · A ^ (-1)
[A^
(-1) ] ^ (-1) = A
(K
· A) ^ (-1) = k ^ (-1) · A ^ (-1)
(A
^ t) ^ (-1) = [ A ^ (-1) ] ^ t
cálculo de la inversa por el método de Gauss
Sea
A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que
denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz
del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz
identidad I en la derecha. Consideremos una matriz 3x3 arbitraria
La
ampliamos con la matriz identidad de orden 3.
2º
Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la
matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el
lado derecho será la matriz inversa: A-1. F2 - F1
F3 + F2
F2 - F3
F1 + F2
(-1) F2
La matriz inversa es: F1
Puedes
consultar este otro método para calcular la matriz inversa.
A
• (B + C) = A • B + A • C
Es un área
activa que tiene con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por
computadora, ingeniería, etc.
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